Note243 FPゴースト（Faddeev-Popov ghost）（２）

ただ、疑問なのはFermionic な場であるCがゴーストと呼ばれるのか？
ユニタリ（Unitarity）条件を課すとBosonのスピンは整数でありFermion のスピンは半整数でなければならないという制限が存在している。それなのに仮定としてC は反交換するスカラーでスピンは０（整数）として定義される。結局結論から言えば負の確率密度をとり得る事からゴーストと呼ばれという事らしい。（不定計量の状態ベクトル空間の導入）まだ、この辺の事情は私には良く分かりません。

さらに、これらの場はFeynman図のループ（内線）だけに現われて外線には絶対に出てこないと仮定する。とっても気分が悪い処方箋に感じるけど。。。

しかし、ともかくこうすると困難（ユニタリ性の破れ）などが綺麗に片付くというのだ。ただ、ファデフ（Faddeev）とポポフ（Popov）が経路積分法を使ってこのような奇妙な場の必然性を合理的に導いたので少なくとも強引な導入ではなくなったという経緯がある。今ではこの場をFPゴースト（Faddeev- Popov ghost）と言う事になっている。
具体的には

というFPゴーストのラグランジアン密度を付け加えておくというのがその処方箋となる。
しかし、この事で完全に局所ゲージ不変性が失われてしまうというオチなのだが。

結局、ゲージ場のラグランジアン密度はゲージ固定項とFPゴースト項によって局所ゲージ不変性を持ってなくなってしまった。という事でBRS変換の登場という事らしい。

FPゴースト項
FPゴースト項なのだが、実際には微妙にというか表現が異なっている。

このあたりの事情がよく分からなかった。もっとも虚数がある無しも微妙に違っていたりする。これらの違いは教科書によって異なるが係数はどこかで帳尻があっているものだ。
しかし、FPゴースト項はそういった理由で違っているのでは無いし、ミスプリ？とも一瞬思ったこともあるが電磁場の場合も生のラグランジアン密度の特定の部分を積分した形を正準量子化のために使っていた事を思い出した。おそらくだが次のような理由によってラグランジアン密度を再定義しているようだ。

ラグランジアン密度は全領域で積分する事を考慮しておくと全微分の項の寄与はガウスの発散定理から表面積分が消えてしまうので

となって辻褄があいます。おそらく同様な理由から次のように書かれている教科書もある。

もちろん

もあり、という事になる。