Note24 水平ベクトルと水平持ち上げ

主ファイバー束P(M,G)の点uにおける接平面（接空間）と点uを通るファイバーを考える。

接平面Puは各点にふらふらと付随している。さて、次のように分解できる時にPの接続と言います。

接平面Puの接ベクトルXがファイバーの接ベクトルとの和に（一意に）分解できて、

と書ける時にファイバーの接ベクトルZを垂直方向と考えてYを水平方向というイメージでQを水平部分空間という。ファイバーの接ベクトルは、射影によって０になっています。

そういう意味でもファイバーの接ベクトルは垂直と言えます。

こうした関係を築ける時、主ファイバー束の接続が定義できるという事になる。
それで、これが何で接続なのか？どうもイメージが湧かない。

とりあえず、この事は忘れて先を読み進んでみる事にする。

M上のベクトル場をXに対して水平ベクトル場で射影によって

となるのベクトル場をXの水平持ち上げという。

P上の曲線τ*がM上の曲線τに対して水平というのは次のように定義されます。

P上の曲線τ*が曲線の各点でその接ベクトルが水平ベクトルであるときτの水平持ち上げと言います。これは一意に存在します。

今日は「現代微分幾何入門 野水克己　著」p43では単に

と（説明も無く突然）書かれている。接ベクトルを写す写像として自然な解釈として上記のように解釈しました。