Note31 曲面上の直線（１）

直線とは？真っ直ぐな線の事。では真っ直ぐとは？、、、、定規で引くことの出来る線、なんで？
定規は真っ直ぐだから。と循環論法になってしまいます。別の言い方を考えると２点を結ぶ最短コースと言えます。だから曲面上にも直線は引けるという事でしょうか？ともかくそういった線を測地線といいます。ただ最短コースは測地線だというのは自明な事では無い、、、さて、曲線

が測地線であるというのはその接ベクトルがその曲線自身に沿って平行な場合を言います。
つまり、

曲線xに沿って平行移動をするベクトルζは

を満たしていなければなりませんでした。今の場合

なので次のように測地線の方程式が得られます。

ただ、パラメータtのとり方に依存する。今、あるｔパラメータで上記の測地線の方程式を満たしているとき勝手な他のパラメータs、

で（逆関数もあるとする）この勝手なパラメータｓを取ったときでも測地線であるなら

でなければならないですね。この時パラメータsとtはどんな関係を要請されるかを見てみます。それで測地線の方程式をパラメータｓで書き換えてみます。そうすると次の式を満たさなければならない事が分かります。

これは「問い」になってるのでやっておきましょう。まずｓパラメータで各微分を求めておきますと、

これを測地線の方程式に代入すると、

整理すると「現代微分幾何入門 野水克己　著」p91 (2)式が得られます。

これと元の測地線の方程式から右辺がゼロとなるには

つまり、パラメータ間にはα>0、βを定数として

と分かります。逆にt=αs+β という変換（アフィン変換）を行っても変わらない。この事からこの方程式におけるｔをアフィンパラメータ(Affine Parameter)と呼ぶ。

それで、あるｔパラメータで上記の測地線の方程式を満たしているときt=αs+βでは無いような勝手なパラメータを選んで測地線になる条件はどうなるかというと、

と置いて、

で、一般パラメータ関係で測地線となる条件は、

と分かる。逆に、この条件を満たすφを適当にとると測地線になるのか？

つまり、

とできるか？

と取ればよい。一見複雑ですが次の通りになっているので求めるｔパラメータになっています。

平坦空間（ユークリッド空間）では

ですから測地線の方程式とその解は

とまさに直線になっています。

常識的には当たり前の事ですが導かれたというのは重要な事だと思います。