Note122 共変外微分と外微分

現代微分幾何入門「野水 克己 (著)」 ではこの共変外微分から曲率形式を定義しているのだがこの本の共変外微分の定義から「共変」「外微分」という単語が結びつかない。しかし、これは共変外微分を局所表示してみるとこの違和感は解消する。
上記教科書では共変外微分をDという表記を使っているが共変外微分らしく

という表記を使う教科書もあります。どっちかといえばこの表記は良くできているの以降はこの表記を使うことにする。見た目（イメージ）って結構重要だ（私は）。
まあ、外微分というだけあって外微分の諸公式は殆ど同じ形で成立しているのだが特筆すべき性質ももっている。外微分では

だが共変外微分では一般にはゼロにはならない。ω1を０次微分形式とするとき

となっている。これは次のようにして確認できる。
公式（http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/21504505.html）

を適用すると

１項、２項に同様に公式を適用してDが微分形式の次数を一つ上げることを考慮すると