Note129 一般のラプラシアン(3次元極座標ラプラシアン)

前回(量子論等・補習ノート)、面倒で端折ってしまったが、結構複雑な形になっていて

とは言っても良く知られた公式です。そんなわけで「てきとう」な私はこの公式を導出するなんて面倒な事はやっていない。そこで今日は復習を兼ねてやってみたい。ただ、一般的なラプラシアンは微分幾何の手法で既に
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/25798206.html

を得ているの計量テンソルを代入するだけで良いはずです。なのでいちいち導出はやっていなかったが今日は上記公式の確認も含めて計算してみようと思う。まず、球面における計量テンソルは

で対角成分は全部ゼロになるから公式は

と簡単になる。これをバラすと

なのでこれに先ほどの計量を代入すると

後はこれを整理しながら若干計算していくと

となって曲座標系におけるラプラシアンを得ますが、形が少し違っています。しかしこれは見かけだけで実際、

なので

ちゃんと一致します。