Note100 リーマン多様体の体積要素と勾配(grad)

微分幾何のイメージを #物理学
計量テンソル(metric tensor)
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局所座標系ｘ、ｙを正の座標系とするので
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と言う事で
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がリーマン多様体の体積要素とする事が出来る。リーマン多様体上のベクトル場X、Yに対して
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となるベクトル場Xを
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と書いてｆの勾配という。それで勾配が定義されるとリーマン多様体上のラプラシアンが次のように定義できる。
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多様体上のグリーンの定理から
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またこれから直ちに次の事がわかる。
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通常は体積要素をｄｖと書くので
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